让思维在“建构式生态课堂”中自主飞翔

发布日期：2014-03-25 来源：[db:出处] 浏览次数：

1 问题提出

在高三一轮复习中，我们的学案上有这样一道习题：

已知是R上的减函数，那么实数的取值范围是（ 2006年北京理科卷第5题）．

同类型题以前练习且讲评过，但今天错误率仍高达48.6%．为什么有这么多学生出现“懂而不会，一错再错”的现象？是学生问题还是我们的教学出现了问题？再次简单的讲评, 还是探究其深层次的原因？在集体备课时针对这个问题，大家共同讨论，探究错误的根本原因，形成了解决问题的共识．让学生走向三尺讲台，通过“说”、“思”、“做”、“编”等手段，引导学生对一道课本习题展开探究性研究，在此基础上进行纠错，并在下周由青年教师执教进行试验，收到了较好的效果．下面是这节课的教学实录与思考．

2 教学实录

2.1 “说”…探究源头，消除错误

师：下面请大家打开必修1第40页，我们共同来研究习题中的第8小题．

引例：判断下列说法是否正确：

（1）若定义在R上的函数满足，则函数是R上的单调增函数；

（2）若定义在R上的函数满足，则函数在R上不是单调减函数；

（3）若定义在R上的函数在区间上是单调增函数，在区间上也是单调增函数，则函数是R上是单调增函数；

（4）若定义在R上的函数在区间上是单调增函数，在区间上也是单调增函数，则函数是R上是单调增函数．

师：结论（1）是否正确？请你把判断过程说给大家听听．

生1：结论（1）是不正确的．要判断一个函数在R上是否具有单调性，不能根据两个特殊值来判定，必须根据函数的单调性定义进行判定．

师：请你运用自己的语言把函数的单调性定义说给大家听一听，并说明结论（1）错误的原因．

生1：根据函数的单调性定义，只要设函数定义域内任意两个值，且，如果恒有成立，则函数在定义域上是单调增函数．结论（1）是通过定义域上两个特殊值，由得出函数是R上的单调增函数，不是任意的两个值，所以是错误的．

师：请大家想一想，他对定义的叙述对不对？对定义的理解一定要准确．

生2：不太严谨，函数的单调性定义是这样说的．设函数的定义域为A，区间是A的子集，设区间上任意两个值，且，恒有成立，则函数在区间上是单调增函数．

师：讲的很好！大家给与掌声鼓励！函数的单调性是指函数在某个具体的区间上所具有的性质，不是函数在定义域上具备的性质，这个区间一定要是定义域的子集．如果能够证明函数在定义域上具备单调性，就可以说函数在定义域上是单调的．哪位同学能举例说明这个问题．

生：例如一次函数在定义域上是单调递增的，反比例函数在区间和上都是单调递减的，但是在定义域上就不是单调递减的．

师：说的好！反比例函数在区间和上都是单调递减的，能不能说在定义域上是单调递减的？

学生齐声回答：不能．

师：为什么呢？

生4：我举一个反例就可以说明问题．

师；很好！关于这个问题等一会我们在进一步研究．下面哪个同学来讲一讲结论（2）是否正确？你的理论根据是什么？为什么这样判断？

生5：结论（2）是正确的．因为要说明函数在区间上不具备单调性，只需举个反例加以说明就可以了．

师：很好！下面大家把结论（3）和（4）放在一起来研究，请一位同学上来讲一讲你的思考，讲错了没有关系．

　　大家都沉浸在思考中．3分钟后，学生6走到讲台上，一边讲解一边画图．

生6：结论（3）和（4）是不同的，结论（3）正确．函数在两个区间都是单调递增的，并且在时是连接在一起的，所以，函数在R上是递增的，例如图像①；结论（4）是不正确的．函数在两个区间都是单调递增的，但在时是不连接在一起的，所以函数在R上就不一定是单调递增的，可能有图像②的情况．

图3

图2

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图1

图4

2.2“思”…解后反思，总结规律

师：讲的好不好？（教室里再次响起了掌声）．现在大家静一静，想一想，结论（1）和（2）告诉我们什么？结论（3）和（4）又告诉了我们什么？请你也上来总结给大家听听，让大家欣赏你的心得．话音刚落，学生7争着走到讲台上．

生7：结论（1）和（2）告诉我们：判定一个函数在某区间上是具有单调性的，必须根据定义进行严谨的证明；要说明函数在区间上不具有单调性，只需举个特例．如果函数在两个区间A、B（区间B在区间A的右侧）上都是单调递增的，且函数在区间A上的最大值不大于区间B上的最小值，则函数在区间上是单调递增的，如图3所示．在分界点不一定是连在一起的，只需在区间A上的最大值不大于区间B上的最小值，并且最大值和最小值也可以取不到．

师：讲的非常漂亮！哪位同学还有没有其他想法？

老师话还没有说完，学生8站了起来．

学生8：同理可得．如果函数在两个区间A、B（区间B在区间A的右侧）上都是单调递减的，且在区间A上的最小值不大于区间B上的最大值，则函数在区间上是单调递减的，如图所示．自己走的黑板前，把图4画了出来．

学生8刚讲完，学生9又站了起来．

生9：老师我有一个意外收获，不知能不能说．教室里又有了笑声，课堂气氛活跃起来．

师：可以啊，你上来讲．

生9：不用了，就在下面说．我现在才想明白，以前在作业中写单调区间时把两个区间并在一起是错误的原因了，因为并在一起就不一定具有单调性了．我以后再写单调区间时，还会写并的（学生又笑了），但这时我会想一想是否满足条件，不满足就不写并集了．

师：这个意外收获价值千金．例如反比例函数在区间和上都是单调递减的，但在定义域上就不是单调递减的，在写它的单调区间时要分开写，不能并在一起．

能否并在一起一定要慎重思考．

2.3 “做”…迁移应用，触类旁通

下面我想请一位同学把昨天的作业订正在黑板上，并谈谈自己做错的原因．这需要勇气，哪位同学能勇敢地面对大家谈谈自己的错误，并把订正展示给大家．

一会儿，学生10勇敢的站了起来，并走向讲台．

生10：是分段函数，要在上单调递减，首先在每一段上要单调递减，其次，当时，函数的最小值必须大于或等于当时函数的最大值，我就是没有到考虑第二点才做错的．

然后学生8在黑板上运用不等式组非常规范的展示了解题过程．

解：有题意知，，解得的取值范围是．

出示三道变式题，学生都能迅速说出解题思路，并且准确规范的完成解过程．教学中有意安排前面作业做错的同学上来板演，做完后分别让他们说出自己想法，其他同学共同点评错误原因．

变式1：函数在R上是单调增函数，求实数的范围.

变式2：已知是R上不是单调函数，求实数的取值范围．

变式3：已知函数，现给出下列命题：

①当函数图像是一条连续不断的曲线时，则；

②当函数图像是一条连续不断的曲线时，能找到一个非零实数使在上是增函数；

③当函数图像是一条连续不断的曲线时，能找到一个非零实数使在上是减函数；

④当时，不等式恒成立．

2.4 “编”…激发兴趣，提升能力

师：通过变式练习，可以看出大家对问题已经有了理性的认识，并能够灵活运用．下面大家研究一下三个变式题，是如何进行变式的，然后，请你来做老师，出一道试题，考一考同位．要求是不能与做过的试题一样．

一石击起千层浪，教室里热闹起来，学生心中洋溢着十分的喜悦，内心都在想，我也可以出题了，可以当老师出题考你啦，我一定要出一个你没有见过的题目．教室里鸦雀无声，同学们跃跃欲试，都在苦思冥想，力争出奇斗胜．老师在教室里不停的走动，观看学生所编的试题．有的是一次函数与二次函数组成的分段函数，有的是二次函数与指数函数组成的分段函数，有的是指数函数与对数函数组成的分段函数．个别同学所编的试题还是三段的甚至4段的分段函数，真是百花争艳，万紫千红．只要我们教育得法引导正确，学生是特别聪明的．

一会儿，教室里又热闹起来，争论起对方对与错．有的同学为成功而沾沾自喜，有的同学承认错误，俯首称臣；有的互不相让，争的面红耳赤，最后吵到讲台上，让老师来判决．老师并没有当判官，是让他们各自把题目及解过程写在黑板上，把自己的理解讲给大家听，让同学来判决．这个时候结论的对错并不重要，重要的是每个同学都全身心的投入到学习中去．教室里热闹非凡，下课的铃声响了也没有听见．

3 教后反思

3.1 “懂而不会，一错再错”是数学学习中普遍存在的一种现象．即在新知识学习时学生课上能听懂教师讲的内容，课下却不会灵活运用，甚至在以后练习中出现“一错再错”的现象．产生这种现象的原因是多方面的，既有教师的问题，也有学生的问题，其根本原因是我们的教学出现了问题．

学生迫于升学、考试的压力，往往选择收效更快的“懂”，追求浅层次的“懂操作”，忽视深层次的“是什么”与“为什么”，这是造成“懂而不会”的主要原因之一．

我们一些教师的教学观仍然注重“讲”，在实际教学中“教师代替学生思考，把知识直接呈现给学生，学生只是被动的接受知识”的现象大量存在于每一节数学课中，是直接造成学生“懂而不会，一错再错”现象的根本原因．

3.2　如何消除“懂而不会”的现象，实现真正意义上的“懂而且会”，需要教师认真钻研教材，精心备课，树立新课标的教学理念．在课堂教学中，教师要引导学生独立思考、自主探究、动手实践、合作交流，在数学活动过程中感悟并获得知识与思想方法；在知识的发生、发展与运用过程中，达到真正意义上的“会”．这样的“会”，是融会贯通的“会”，是深刻理解的“会”，是能够应对多种问题情境的“会”．教师不但要放下身份走下讲台，而且要鼓励学生大胆地让走向讲台，去“说”、 “思”、“做”、“编”，只有这样做，才能改变知识传授的方式，学生的思维才能在“建构式生态课堂”中自主飞翔．

参考文献：

[1] 王光明　杨　蕊　数学学习中的“懂而不会”现象．中学数学教学参考，陕西师范大学出版社，2012.10

[2] 沈燕.例析学生听得懂课却不会做题的现象[J].教育研究，2011(5)：90　91

注：该文被人大资料在2013年转载